ruang dimensi tiga

SEKOLAH YANG DIKUNJUNGI : SMA KATOLIK ST. ANDREAS PALU JL. Danau Poso No.23 Palu Barat

MATERI : RUANG DIMENSI TIGA (KTSP 2006)

SEMESTER : 2 (GENAP)

NAMA GURU : DESIDERIUS LANDI S.Pd

STANDAR KOMPETENSI

Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga

KOMPETENSI DASAR

1. Menentukan kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga

2. Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga

3. Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga

INDIKATOR

1. Menentukan kedudukan titik terhadap garis, titik terhadap bidang, garis terhadap garis, garis terhadap bidang dan bidang terhadap bidang

2. Menghitung jarak antara titik dengan titik, titik dengan garis, titik dengan bidang, garis dengan garis, garis dengan bidang dan bidang dengan bidang

3. Mengukur sudut antara garis dengan garis, garis dengan bidang dan bidang dengan bidang

URAIAN MATERI

A. Kedudukan titik, Garis, dan bidang dalam ruang.

1. Pengertian titik, garis, dan bidang.

a. Titik.

Suatu titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai besaran. Sebuah titik dilukiskan dengan noktah dan biasanya dinoktahkan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan seterusnya.

$Description: C:\Users\User pc\Documents\titik AQ.png$

b. Garis.

Suatu garis merupakan himpunan titik – titik tidak terbatass banyaknya. Garis dikatakan berdimensi satu karena hanya memiliki satu ukuran saja. Suatu garis biasanya dilukiskan terbatas dan disebut juga dengan segmen garis (ruas garis) dan dinotasikan dengan huruf kecil. Ruas garis itu sendiri dinotasikan dengan menyebut titik pangkal dan titik ujung garis tersebut, sebagai contoh, garis g, h, l, atau ruas garis AB, PQ.

$Description: C:\Users\User pc\Documents\garis.png$

c. Bidang.

Bidang merupakan himpunan titik – titik yang memiliki panjang dan luas, oleh karena itu bidang dikatakan berdimensi dua. Penotasian suatu bidang diwakili oleh α, β, ϒ, atau titik – titik sudut bidang itu.

$Description: C:\Users\User pc\Documents\bidang.png$

2. Aksioma tentang garis dan bidang

Aksioma adalah pernyataan yang dapat diterima langsung nilai kebenarannya tanpa perlu dibuktikan. Berikut ini beberapa aksioma tentang titik, garis, dan bidang.

Aksioma 1 :

Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpith\ hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

A B

Aksioma 2 :

Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis seluruhnya terletak pada bidang.

Aksioma 3 :

Melalui tiga buah titik sembarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang.

Aksioma 4 :

Melalui sebuah titik yang berada diluar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu.

3. Kedudukan titik terhadap garis

Ada dua kemungkinan kedudukan titik terhadap garis, yaitu titik terletak pada garis dan titik diluar garis.

a. Titik terletak pada garis

Sebuah titik dikatakan terletak pada garis jika titik itu dilalui garis tersebut.

Titik A terletak pada garis g

b. Titik diluar garis

Sebuah titik berada diluar garis, jika titik tidak dilalui garis.

Titik A terletak diluar garis g

4. Kedudukan titik terhadap bidang

a. Titik terletak pada bidang.

Sebuah titik terletak pada bidang. Jika titik dapat dilalui bidang.

Titik A terletak pada bidang V

b. Titik diluar bidang.

Sebuah titik berada diluar bidang. Jika titik tidak dapat dilalui bidang.

Titik A terletak diluar bidang V

5. Kedudukan garis terhadap garis

a. Dua garis berpotongan

Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persukutuan atau titik potong.

Garis g berpotongan dengan garis h

b. Dua garis sejajar

Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki titik persekutuan

Garis g sejajar dengan garis h

c. Dua garis bersilangan

Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika kedua garis tidak terletak pada sebuah bidang yanag sama atau dua buah garis dikatakan bersilangan jika tidak dapat dibuat sebuah bidang yang melalui kedua garis tersebut.

6. Kedudukan garis terhadap bidang

Kedudukan garis terhadap sebuah bidang kemungkinannya adalah garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, atau garis menembus (memotong) bidang.

a. Garis terletak pada bidang

Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu sedikitnya mempunyai dua titik persekutuan.

Garis g terletak pada bidang V

b. Garis sejajar bidang

Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak mempunyai satupun titik persekutuan.

garis g sejajar dengan bidang v

c. Garis menembus atau memotong bidang

Sebuah garis dikatakan menembus atau memotong bidang, jika garis dan bidang itu hanya memiliki satu titik persekutuan denagan titik persekutuan tersebut sebagai titik potong atau titik tembus. g

Garis g menembus bidang V

7. Kedudukan bidang terhadap bidang

Kedudukan antara dua buah bidang hanya ada tiga kemungkinan, yaitu sejajar, berimpit, atau berpotongan.

a. Dua bidang sejajar

Bidang V dan W dikatakan sejajar, jika kedua bidang tersebut tidak memiliki titik persekutuan

Dua bidang sejajar

b. Dua bidang berimpit

Bidang V dan W dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang V juga terletak pada bidang W atau sebaliknya.

Dua bidang berimpit

c. Dua bidang berpotongan

Bidang V dan W dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu memiliki tepat satu garis persekutuan yang disebut juga garis potong.

^(V,W⁾

^{Dua
bidang berpotongan}

Contoh Soal

^{H T G}

^{E F}

^{D C}

^{A S B}

Pada kubus ABCD.EFGH tentukan :

a. Kedudukan titik T terhadap garis HG dan AB

b. Kedudukan garis AB terhadap garis DC

c. Kedudukan titik A terhadap bidang EFGH

d. Kedudukan bidang ABCD terhadap bidang EFGH

Peny :

a. Titik T terletak pada garis HG karena titik T dilalui garis HG dan titik T terletak di luar garis AB karena titik T tidak dilalui garis AB

b. Garis AB sejajar garis DC karena tidak memiliki satupun titik potong ( persekutuan )

c. Titik A terletak di luar bidang EFGH karena titik A tidak dilalui atau tidak dimuat bidang EFGH

d. Bidang ABCD sejajar dengan bidang EFGH karena tidak memiliki titik persekutuan

B. Jarak pada bangun ruang

1. jarak antara titik dengan Titik

Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yng menghubungkan kedua titik tersebut.

P Q

2. Jarak antara Titik dengan Garis

Jarak antara titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang di tarik dari titik tersebut yang tegak lurus terhadap garis itu. jarak antara titik P dengan garis g adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus terhadap garis g , yaitu d.

3. Jarak antara Titik dengan Bidang

Jarak antara titik dengan bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus dan menghubungkan titik tersebut dengan bidang . Pada Gambar 7.28, jarak antara titik P dan bidang V adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus bidang V, Yaitu d. p

4. Jarak antara Garis dengan Garis

Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Pada Gambar 7.29, jarak antara garis g dan garis h adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus dengan garis g dan garis h adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus dengan garis g maupun garis h, yaiu d.

P g

5.Jarak antara Garis dengan Bidang

Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah panjang ruas garis yang tegak lurus dengan garis dan bidang tersbut. Pada gambar 7.30, jarak antara garis g dengan v adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus garis g dan bidang v, yaitu d.

P g

6.Jarak antara Bidang dengan dengan Bidang

Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua bidang tersebut. Pada Gambar 7.31, jarak antara bidang v dengan bidang w adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus pada bidang V dan bidang W, yaitu d.

Contoh soal :

H G

E F

D C

A p B

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang 34 cm , lebar 12,5 cm dan tinggi 13,6 cm. Hitunglah :

a. Jarak antara titik A dan titik C

b. Jarak antara titik E dan garis FG

c. Jarak antara garis EG dan garis AC

d. Jarak antara bidang ABFE dan bidang DCGH

Peny :

H G

E F

D C

A p B

a. Jarak antara titik A dan titik C adalah segmen AC

b. Jarak antara titik E dan garis FG adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut yang tegak lurus terhadap garis itu, yaitu segmen EF.

Sehingga panjang EF = panjang balok = 34 cm

c. Jarak antara garis EG dan garis AC adalah panjang ruas garis yang tegak lurus dengan garis EG dan garis AC yaitu ruas garis AE dan ruas garis CG = tinggi balok = 13,6 cm

d. Jarak antara bidang ABFE dan bidang DCGH adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua bidang tersebut yaitu ruas garis AD,BC,EH dan FG = lebar balok = 12,5 cm

C. Besar Sudut Pada Bangun Ruang

Sifat dua buah sudut yang sama besar dalam geometri bidang dapat digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua garis berpotongan maupun bersilangan pada sebidang ruang

1. Sudut antara garis dengan garis.

a. Sudut antara dua garis berpotongan

Jika garis g dengan garis h berpotongan, maka sudut antara garis g dan h adalah sudut lancipnya, α.

Notasi: (g,h)=α

b. Sudut antara dua garis bersilangan

Jika g dan garis h bersilangan, maka sudut antara keduanya dapat ditentukan sebagai berikut:

a) Tetapkan sembarang titik A garis g.

b) Buat garis h’ yang melalui A dan sejajar garis h

c) Besar sudut yang dibentuk oleh garis g dan h’ adalah besar sudut antara garis g dan h yang diminta dan dinotasikan

(g,h) ≡ (g,h)=α

Atau

(1) Buat garis g’ yang sejajar g

(2) Buah garis h’ yang berpotongan dengan g’ dan sejajar h

(3) Besar sudut yang dibentuk oleh garis g’ dan garis h’ adalah besar sudut antara garis g dan h yang bersilangan dan dinotasikan

(g,h) ≡ (g’,h’) =α

g g g’

h’ h’

h h

2. Sudut antara garis dan bidang

Misalkan diberikan garis l dan bidang V. Untuk mencari besar sudut antara garis l dan bidang V tesebut dapat dilakukan dengan cara berikut. Garis l diperpanjang sedemikian sehingga memotong (menembus) bidang V dititik P. Kemudian proyeksikan garis l pada bidang V sedemikian sehingga diperoleh garis l’. Sudut antara garis l dengan bidang V adalah sudut yang terbentuk antara (perpanjangan) garis l dengan garis l’, yaitu α.

3. Sudut antara bidang dan bidang

a. Sudut antara dua bidang yang berimpit atau sejajar

Jika dua buah bidang V dan W berimpit atau sejajar, maka besar sudut antara kedua bidang tersebut adalah m (V.W) = 0 ͦ

b. Sudut antara duan bidang yang berpotongan atau bersilangan

Jika dua buah bidang V dan W berpotongan digaris (V,W), maka sudut antara bidang V dan W dapat ditentukan sebagai berikut.

a) Tentukan titik P pada garis (V,W)

b) Buat garis g pada bidang V melalui P dan tegak lurus garis (V,W).

c) Buat garis g pada bidang W melalui p dan tegal lurus garis (V,W)

d) Terbentuk sudut antara bidang V dan W yaitu α.

Perhatikan bahwa sudut yang terbentuk merupakan sudut antara garis g dan garis h yaitu α.dengan demikian, sudut antara dua bidang dapat ditentukan oleh dua garis pada bidang tersebut yang saling tegak lurus pada garis potong dua bidang tersebut.

Contoh Soal

H G

E F

D C

A B

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 2 cm, Tentukan dan hitung besar sudut antara :

a. Garis AF dan garis AB

b. Garis AB dan garis FG

c. Garis EB dan bidang ABCD

d. Bidang ABCD dan bidang ABGH

e. Bidang ABFE dan bidang EFGH

Peny :

Sudut yang dibentuk antara garis AF dan garis AB adalah FAB yang dapat di cari dengan menggunakan rumus :

Sehingga m FAB = 45°

Sudut yang dibentuk antara garis AB dan garis FG adalah ABC karena FG sejajar dengan BC. Dengan m ABC = 90° (tegak lurus )

Sudut yang dibentuk antara garis EB dan bidang ABCD adalah EAB yang dapat di cari dengan menggunakan rumus :

Sehingga m EAB = 45°

Sudut yang dibentuk antara bidang ABCDdan bidang ABGH adalah GBC yang dapat di cari dengan menggunakan rumus :

Sehingga m GBC = 45°

Sudut yang dibentuk antara bidang ABFE dan bidang EFGH adalah BFG. Dengan m BFG = 90° (tegak lurus )

pengetahuan

Cari Blog Ini

ruang dimensi tiga

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

sejarah singkat HIMAPTIKA FKIP UNTAD

komplikasi materi matapelajaran matematika