komplikasi materi matapelajaran matematika

A.   Kedudukan titik, Garis, dan bidang dalam ruang.

1.     Pengertian titik, garis, dan bidang.

a.     Titik.

Suatu titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai besaran. Sebuah titik dilukiskan dengan noktah dan biasanya dinoktakan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan seterusnya.

b.     Garis.

Suatu garis merupakan himpunan titik – titik tidak terbatass banyaknya. Garis dikatakan berdimensi satu karena hanya memiliki satu ukuran saja. Suatu garis biasanya dilukiskan terbatas dan disebut juga dengan segmen garis (ruas garis) dan dinotasikan dengan huruf kecil. Ruas garis itu sendiri dinotasikan dengan menyebut titik pangkal dan titik ujung garis tersebut, sebagai contoh, garis g, h, l, atau ruas garis AB, PQ.

c.      Bidang.

Bidang merupakan himpunan titik – titik yang memiliki panjang dan luas, oleh karena itu bidang dikatakan berdimensi dua. Penotasian suatu bidang diwakili oleh α, β, ϒ, atau titik – titik sudut bidang itu.

2.     Aksiomah tentang garis dan bidang

Aksioma adalah pernyataan yang dapat diterima langsung nilai kebenarannya tanpa perlu dibuktikan. Berikut ini beberapa aksioma tentang titik, garis, dan bidang.

Aksioma 1 :

Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpith\ hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

 

                A              B

Aksioma 2 :

A                 B

Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis seluruhnya terletak pada bidang.

α

 

Aksioma 3 :

Melalui tiga buah titik sembarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang.

B            A                 C

α

 

Aksioma 4 :

Melalui sebuah titik yang berada diluar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu.

g                              A                     h

α

 

3.     Kedudukan titik terhadap garis

Ada dua kemungkinan kedudukan titik terhadap garis, yaitu titik terletak pada garis dan titik diluar garis.

a.     Titik terletak pada garis

Sebuah titik dikatakan terletak pada garis jika titik itu dilalui garis tersebut.

                        A

                                             g

          Titik A terletak pada garis g

b.     Titik diluar garis

Sebuah titk berada diluar garis, jika titik tidak dilalui garis.

                    A

                                              g

          Titik A terletak diluar garis g

4.     Kedudukan titik terhadap bidang

a.     Titik terletak pada bidang.

v

A

Sebuah titik terletak pada bidang. Jika titik dapat dilalui bidang.

 

Titik A terletak pada bidang V

b.     Titik diluar bidang.

v

Sebuah titik berapa diluar bidang. Jika titik tidak dapat dilalui bidang.

                                          

                                             A 

      Titik A terletak diluar bidang V   

5.     Kedudukan garis terhadap garis

a.     Dua garis berpotongan

v

g                                   p                                                   h

Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persukutuan atau titik potong.

 

Garis g berpotongan dengan garis h

b.     Dua garis sejajar

v

g                  h

Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki titik persekutuan

 

Garis g sejajar dengan garis h

c.      Dua garis bersilangan

Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika kedua garis tidak terletak pada sebuah bidang yanag sama atau dua buah garis dikatakan bersilangan jika tidak dapat dibuat sebuah bidang yang melalui kedua garis tersebut.

 

                  h

g

 

6.     Kedudukan garis terhadap bidang

Kedudukan garis terhadap sebuah bidang kemungkinannya adalah garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, atau garis menembus (memotong) bidang.

a.     Garis terletak pada bidang

v

A                 B                                              g

Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu sedikitnya mempunyai dua titik persekutuan.

 

      Garis g terletak pada bidang V

b.     Garis sejajar bidang

v

Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak mempunyai satupun titik persekutuan.

                                    g

garis g sejajar dengan bidang v

c.      Garis menembus atau memotong bidang

Sebuah garis dikatakan menembus atau memotong bidang, jika garis dan bidang itu hanya memiliki satu titik persekutuan denagan titik persekutuan tersebut sebagai titik potong atau titik tembus.                     g

A

v

 

                     Garis g menembus bidang V

7.     Kedudukan bidang terhadap bidang

v

Kedudukan antara dua buah bidang hanya ada tiga kemungkinan, yaitu sejajar, berimpit, atau berpotongan.

a.     Dua bidang sejajar

Bidang V dan W dikatakan sejajar, jika kedua bidang tersebut tidak memiliki titik persekutuan

w

 

Dua bidang sejajar

b.     Dua bidang berimpit

vw

Bidang V dan W dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang V juga terletak pada bidang W atau sebaliknya.

Dua bidang berimpit

c.      Dua bidang berpotongan

Bidang V dan W dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu memiliki tepat satu garis persekutuan yang disebut juga garis potong.

                                        ^W

v

                                                             ^(V,W)

B.          Jarak pada bangun ruang

1.     jarak antara titik dengan Titik

  Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yng menghubungkan kedua titik tersebut.

           P                                                                     Q

                                                d                   

2.     Jarak antara Titik dengan Garis

Jarak antara titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang di tarik dari titik tersebut yang tegak lurus terhadap garis itu. jarak antara titik P dengan garis g adalah  panjang ruas garis PQ yang tegak lurus terhadap garis g , yaitu d.

                                                             P

                                                  d

                                                                                                   g

                                                            Q

3.     Jarak antara Titik dengan Bidang

           Jarak antara titik dengan bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus dan menghubungkan titik tersebut dengan bidang . Pada Gambar 7.28, jarak antara titik P dan bidang V adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus bidang V, Yaitu d.    p

Q

v

 

4.     Jarak antara Garis dengan Garis

             Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Pada Gambar 7.29, jarak antara garis g dan garis h adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus dengan garis g dan garis h adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus dengan garis g maupun garis h, yaiu d.

                           P                           g

                              _d

                                                         h

                          Q

 5.Jarak antara Garis dengan Bidang

           Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah panjang ruas garis yang tegak lurus dengan garis dan bidang tersbut. Pada gambar 7.30, jarak antarabb garis g dengan v adalah panjang ruas garis  PQ yang tegak lurus garis g dan bidang v, yaitu d.    

                         P                    g

d                                                                    Q

v

 

 6.Jarak antara Bidang dengan dengan Bidang

         Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua bidang tersebut. Pada Gambar 7.31,  jarak antara bidang v dengan bidang w adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus pada bidang V dan bidang W, yaitu d.

p

v

Q

w

 

                                d

c.   Besar Sudut Pada Bangun Ruang

          Sifat dua buah sudut yang samambesar dalam geometri bidang dapat digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua garis berpotongan maupun bersilangan pada sebidang ruang

1.     Sudut antara garis denagn garis.

a.       Sudut antara dua garis berpotongan

Jika garis g dengan garis h berpotongan, maka sudut antara garis g dan h adalah sudut lancipnya, α.

Notasi:       (g,h)=α

                      g

α

 

                                                 h

       p

b.       Sudut antara dua garis bersilangan

Jika g dan garis h bersilangan, maka sudut antara keduanya dapat ditentukan sebagai berikut:

a)       Tetapkan sembarang titik A garis g.

b)       Buat garis h’ yang melalui A dan sejajar garis h

c)        Besar sudut yang dibentuk oleh garis g dan h’ adalah besar sudut antara garis g dan h yang diminta dan dinotasikan

          (g,h) ≡     (g,h)=α

Atau

(1) Buat garis g’ yang sejajar g

(2) Buah garis h’ yang berpotongan dengan g’ dan sejajar h

(3) Besar sudut yang dibentuk oleh garis g’ dan garis h’ adalah besar sudut antara garis g dan h yang bersilangan dan dinotasikan

   (g,h) ≡      (g’,h’) =α

                 g                                                    g            g’

 

α

α

                                           h’                                                         h’

A

                                          h                                                             h

2.     Sudut antara garis dan bidang

Misalkan diberikan garis l dan bidang V. Untuk mencari besar sudut antara garis l dan bidang V tesebut dapat dilakukan dengan cara berikut. Garis l diperpanjang sedemikian sehingga memotong (menembus) bidang V dititik P. Kemudian proyeksikan garis l pada bidang V sedemikian sehingga diperoleh garil l’. Sudut antara garil l dengan bidang V adalah sudut yang terbentuk antara (perpanjangan) garil l dengan garis l’, yaitu α.                                              

                                                                               L

L  P

V

α

 

3.     Sudut antara bidang dan bidang

a.     Sudut antara dua bidang yang berimpit atau sejajar

Jika dua buah bidang V dan W berimpit atau sejaja, maka sudut antara kedua bidang tersebut adalah      (V.W)=0 ͦ

b.     Sudut antara duan bidang yang berpotongan atau bersilangan

Jika dua buah bidang V dan W berpotongan digaris (V,W), maka sudut antara bidang V dan W dapat ditentukan sebagai berikut.

a)     Tentukan titik P pada garis (V,W)

b)    Buat garis g pada bidang V melalui P dan tegak lurus garis (V,W).

c)     Buat garis g pada bidang W melalui p dan tegal lurus garis (V,W)

d)    Terbentuk sudut antara bidang V dan W yaitu α.

Perhatikan bahwa sudut yang terbentuk merupakan sudut antara garis g dan garis h yaitu α.dengan demikian, sudut antara dua bidang dapat ditentukan oleh dua garis pada bidang tersebut yang saling tegak lurus pada garis potong dua bidang tersebut.

α